72の法則（Rule of 72）[TBC]

「72の法則（Rule of 72）」とは，資産を複利で運用した時に元本が2倍になるまでの期間を概算する方法である．

計算方法は簡単で，例えば利回り2％で複利運用したとき，72を2で割った36が，元本が2倍になるまでの期間を与える．つまり，年利2%で一年複利の場合，元本が2倍になるまでの期間は36年と概算できることになる．

この法則がなぜ成り立つのか，どの程度の精度で成り立つのかについて，このページにまとめておく．なお，Wikipediaの日本語のページはあまり詳しくないが，英語のページには豊富な記述がある．

72の法則のイメージ

まずは単利運用の場合を考えてみよう．例えば年利1%で単利運用する場合，元本が2倍（すなわち利益が100%）になるまでの期間は100年間である．一般に，利回りが$x$のときに，元本が2倍になるまでの期間$T$は

\[ T = \frac{1}{x} = \frac{100}{x / \text{%}} \ , \]

と計算できる．ここで，$x$は時間の逆数の次元を持ち，例えば年利2％なら，$x = 2 \, \% / \text{year} = 0.02 / \text{year}$である．

複利運用の場合，単利よりも資産が速く増加するから，元本が2倍になるまでの期間は短くなる．したがって，単利の場合と同じような式

\[ T = \frac{a}{x} = \frac{A}{x / \%} \ , \]

が成り立つとすれば，$A < 100 \, (a < 1)$となるはずである．この$A$を$72$に選ぶと良いというのが，「72の法則」の主張である．

もちろんこの式は厳密に成り立つものではなく，適用可能な$x$の範囲で用いなければならない．

72の法則の導出

72の法則の導出は，簡単な高校数学の知識と，概算に対するおおらかな心を持ち合わせていれば難しくない．

利払いの計算期間を$t$（一年複利なら$t = 1 \, \text{year}$），利回りを$x$とし，期間$T$だけ複利運用し，元本が2倍になったとすると，

\[ 2 = (1 + xt)^{T / t} \ , \]

が成り立つ．$T / t$は自然数と仮定した．一般の場合にはGauss記号を用いて$\lfloor T / t \rfloor$と書けばよい．

$x$（と$t$）が与えられたとき，$T$を計算したい．上の式を$T$について解くと，

\[ \frac{T}{t} = \frac{\ln 2}{\ln(1 + xt)} \ , \]

を得る．これは一般の利回り$x$に対する厳密な結果であり，電卓がある場合にはこの式を使って$T$を計算すればよい．

実際の運用では利回り$x$は小さいことがほとんどである．$x$が小さい場合，すなわち$xt \ll 1$が成り立つ場合，$\ln(1 + xt) \simeq xt$と近似できるから，上式は

\[ \frac{T}{t} \simeq \frac{\ln 2}{xt} \ , \quad \therefore T \simeq \frac{\ln 2}{x} \ , \]

と近似できる．$\ln 2 < 1$であるから，確かに前節で予想した関係式が成り立っていることが分かる．

$\ln 2$の値は$\ln 2 = 0.6931\dots$であるから，上式を数値で評価すれば，

\[ T \simeq \frac{\ln 2}{x} \simeq \frac{0.69}{x} = \frac{69}{x / \%} \ , \]

となる．この式は$x$が小さい（正確に述べると$xt$が小さい）という近似の下で得られた式であり，この近似式を用いる目的は$T$を簡単に評価する（計算する）ことである．この目的の下では，分子の$69$という数値は，$69$とそれほど違わない別の数値に置き換えてもよい．そこで，$69$に近い整数のうち，できるだけ約数の多い数として$72$を選んでおけば，$T$の数値の部分を整数として計算できる場合が多くなり便利である．

\[ T \simeq \frac{72}{x / \%} \ . \]

これが72の法則である．

[TBC]