為替単純RWモデルに対する単純売買手法 : 中央値

合計収益$P_{N} + Q_{N}$の中央値$(P_{N} + Q_{N})_{1 / 2}$

合計収益$P_{N} + Q_{N}$の確率分布は，最大値が$(N – 3) / 2$（$N$が奇数）または$N / 2$（$N$が偶数），最小値が$-N(N + 1) / 2$の非常に歪んだ分布をしているから，期待値だけでは分布の特徴を捉えることができない．そこで，合計収益$P_{N} + Q_{N}$の中央値$(P_{N} + Q_{N})_{1 / 2}$を計算してみる．

$N$ステップで$2^{N}$個ある経路の全てに対する$P_{N} + Q_{N}$を昇順または降順に並べ，$2^{N} / 2 \, (= 2^{N – 1})$番目と$2^{N – 1} + 1$番目の値の平均値が，$P_{N} + Q_{N}$の中央値である．

$P_{N} + Q_{N}$は$u$と$d \, (N – u)$の入れ替えに対して対称で，$0 \le u < N / 2$の範囲で$u$について$P_{N} + Q_{N}$は単調増加するから，中央値を与える$u = u_{1 / 2}$は，

\[ 2 \sum_{u = 0}^{u_{1 / 2}} {_{N}}C_{u} < 2^{N – 1} < 2 \sum_{u = 0}^{u_{1 / 2} + 1} {_{N}}C_{u} \ , \]

を満たさなくてはならない．もちろん$u = N – u_{1 / 2}$も同じ$P_{N} + Q_{N}$を与えるが，ここでは$0 \le u_{1 / 2} < N / 2$の範囲で$u_{1 / 2}$を定義することにする．

ここで，ある$\tilde{u}$までの和$\displaystyle{2\sum_{u = 0}^{\tilde{u}} {_{N}}C_{u}}$がちょうど$2^{N – 1}$となる場合には，中央値は$u = \tilde{u}$と$u = \tilde{u} + 1$での$P_{N} + Q_{N}$の値の平均値としなければならないが，そのような状況はほとんどない．例外は$N = 1$と$N = 2$のときで，

\begin{align*} (P_{1} + Q_{1})_{1 / 2} &= -1 \ , \\ (P_{2} + Q_{2})_{1 / 2} &= 1 \ , \end{align*}

である．興味があるのは大きな$N$で，その場合には，ちょうど$\displaystyle{2\sum_{u = 0}^{\tilde{u}} {_{N}}C_{u} = 2^{N – 1}}$を満たすような$\tilde{u}$が存在する可能性は考えなくてよいだろう．（右辺の素因数が2のみであることに着目すれば，$N \ge 3$のときにこのような$\tilde{u}$が存在しないことは証明できそうである）

$u_{1 / 2}$を与える式の両辺を$2^{N}$で割り，確率に対する式

\[ 2 \sum_{u = 0}^{u_{1 / 2}} p(N; u) < \frac{1}{2} < 2 \sum_{u = 0}^{u_{1 / 2} + 1} p(N; u) \ , \]

にすることもできる．

$u_{1 / 2}$を求める計算を解析的に実行するのは難しそうである．そこで，まずはプログラムを組んで$u_{1 / 2}$を求め，$(P_{N} + Q_{N})_{1 / 2}$の振舞いを見てみることにしよう．（あとで，$N$が大きい場合に中心極限定理を適用することで，解析的に$u_{1 / 2}$や$(P_{N} + Q_{N})_{1 / 2}$の近似値を求めてみるつもりである）

合計収益$P_{N} + Q_{N}$の中央値$(P_{N} + Q_{N})_{1 / 2}$は，数値計算によると，

\[ (P_{N} + Q_{N})_{1 / 2} \sim \frac{N}{4} \ , \]

のように振舞う．

合計収益の期待値が負となったのとは対照的に，中央値は正となる．

TBC（解析計算，数値計算）

中心極限定理を用いた近似値

$N$が十分に大きいとき，中心極限定理により，$p(N; u)$は平均$\mu = N / 2$，分散$\sigma^{2} = N / 4$の正規分布で近似できる．

\[ p(N; u) \simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi N / 4}} \exp \left( -\frac{(u – N / 2)^{2}}{2N / 4} \right) \ . \]

このとき，

\[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-x_{1 / 2}}^{x_{1 / 2}}dx \, e^{-x^{2} / 2} = \frac{1}{2} \ , \]

を満たす$x_{1 / 2} \, (= 0.67448\dots)$を用いて，$u_{1 / 2}$は，

\[ u_{1 / 2} = \frac{N}{2} – x_{1 / 2}\sqrt{\frac{N}{4}} = \frac{N}{2} – \frac{x_{1 / 2}}{2}\sqrt{N} \ , \]

と書くことができる．このとき，

\[ d_{1 / 2} \equiv N – u_{1 / 2} = \frac{N}{2} + \frac{x_{1 / 2}}{2}\sqrt{N} \ , \]

であるから，$u = u_{1 / 2}$における相対為替レート$r_{1 / 2}$は，

\[ r_{1 / 2} \equiv u_{1 / 2} – d_{1 / 2} = -x_{1 / 2}\sqrt{N} \ , \]

と書ける．したがって，$P_{N} + Q_{N}$の中央値は，

\begin{align*} (P_{N} + Q_{N})_{1 / 2} &= \text{min}(u_{1 / 2}, d_{1 / 2}) – \frac{1}{2}|r_{1 / 2}|(|r_{1 / 2}| + 1) \\ &= \frac{1}{2}(1 – x_{1 / 2}^{2})N – x_{1 / 2}\sqrt{N} \ , \end{align*}

と表すことができる．

また，単位ステップ（単位時間）あたりの$(P_{N} + Q_{N})_{1 / 2}$は，

\[ \frac{(P_{N} + Q_{N})_{1 / 2}}{N} = \frac{1}{2}(1 – x_{1 / 2}^{2}) – \frac{x_{1 / 2}}{\sqrt{N}} \to \frac{1}{2}(1 – x_{1 / 2}^{2}) = 0.2725\dots \ , \]

と評価できる．

これを数値計算の結果と比べてみると，（TBC）

合計収益$P_{N} + Q_{N}$が正となる確率

合計収益$P_{N} + Q_{N}$の中央値が正となることがわかった．このことは，合計収益が正となる確率が50％以上であることを示している．ここでは，合計収益$P_{N} + Q_{N}$が正となる確率を求めてみよう．この確率が高ければ，それだけこの手法が有用であることを示す．

数値計算によると，$N$が十分に大きいとき，合計収益$P_{N} + Q_{N}$が正となる確率は$2 / 3 \simeq 0.67$に近づくように見える．

TBC（解析計算）