為替単純RWモデルに対する単純売買手法 : 分散

二乗平均$\braket{P_{N}^{2}}, \braket{Q_{N}^{2}}$と積の平均$\braket{P_{N}Q_{N}}$

為替差益$P_{N}$と含み益$Q_{N}$の分散$\sigma_{P}^{2}$と$\sigma_{Q}^{2}$を計算するために，それぞれの二乗平均を求める．また，合計収益$P_{N} + Q_{N}$の分散$\sigma_{P + Q}^{2}$を計算するために，積の平均$\braket{P_{N}Q_{N}}$も計算しておく．

$\braket{P_{N}^{2}}$の計算

\[ \braket{P_{N}^{2}} = \sum_{u = 0}^{N} p(N; u) \, [\text{min}(u, d)]^{2} = \frac{1}{2^{N}} \sum_{u = 1}^{N – 1} \frac{N!}{u!d!} \, [\text{min}(u, d)]^{2} \ . \]

まず，$N$が奇数のとき，$N = 2M – 1$と書くと，

\begin{align*} \braket{P_{N}^{2}} &= \frac{1}{2^{N}} \sum_{u = 1}^{N – 1} \frac{N!}{u!d!} \, [\text{min}(u, d)]^{2} \\ &= \frac{1}{2^{N}} \left[ \sum_{u = 1}^{M – 1} \frac{N!}{u!d!} \cdot u^{2} + \sum_{d = 1}^{M – 1} \frac{N!}{u!d!} \cdot d^{2} \right] \\ &= \frac{2}{2^{2M – 1}} \sum_{u = 1}^{M – 1} \frac{(2M – 1)!}{u!(2M – 1 – u)!} \cdot u^{2} \\ &= \frac{1}{2}M(2M – 1) – \frac{M(2M – 1)}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \ , \end{align*}

と計算できる．

次に，$N$が偶数のとき，$N = 2M$と書くと，

\begin{align*} \braket{P_{N}^{2}} &= \frac{1}{2^{N}} \sum_{u = 1}^{N – 1} \frac{N!}{u!d!} \, [\text{min}(u, d)]^{2} \\ &= \frac{1}{2^{N}} \left[ \sum_{u = 1}^{M – 1} \frac{N!}{u!d!} \cdot u^{2} + \sum_{d = 1}^{M – 1} \frac{N!}{u!d!} \cdot d^{2} + \frac{N!}{(M!)^{2}} \cdot M^{2} \right] \\ &= \frac{1}{2^{2M}} \left[ 2 \sum_{u = 1}^{M – 1} \frac{(2M)!}{u!(2M – u)!} \cdot u^{2} + \frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \cdot M^{2} \right] \\ &= \frac{1}{2}M(2M + 1) – \frac{2M^{2}}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \ , \end{align*}

と計算できる．

$M \equiv [(N + 1) / 2]$を定義すれば，$N$が奇数でも偶数でも，

\[ \braket{P_{N}^{2}} = \frac{1}{4}N(N + 1) – N \cdot \frac{M}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \ , \]

とまとめて表すことができる．

$\braket{Q_{N}^{2}}$の計算

\begin{align*} \braket{Q_{N}^{2}} &= \sum_{u = 0}^{N} p(N; u) \cdot \left[ \frac{1}{2}|r|(|r| + 1) \right]^{2} \\ &= \frac{1}{2^{N}} \cdot \frac{1}{4} \sum_{u = 0}^{N} \frac{N!}{u!d!} \cdot (u – d)^{2}(|u – d| + 1)^{2} \ . \end{align*}

まず，$N$が奇数のとき，$N = 2M – 1$と書くと，

\begin{align*} \braket{Q_{N}^{2}} &= \frac{1}{2^{2M – 1}} \cdot \frac{1}{4} \left[ \sum_{u = 0}^{M – 1} + \sum_{d = 0}^{M – 1} \right] \frac{(2M – 1)!}{u!d!} (u – d)^{2}(|u – d| + 1)^{2} \\ &= \frac{1}{2^{2M – 1}} \cdot \frac{1}{2} \sum_{u = 0}^{M – 1} \frac{(2M – 1)!}{u!(2M – 1 – u)!} (2M – 1 – 2u)^{2}(2M – 2u)^{2} \\ &= \frac{1}{2}(2M – 1)(3M – 2) + \frac{M(4M – 3)}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \ , \end{align*}

と計算できる．

次に，$N$が偶数のとき，$N = 2M$と書くと，

\begin{align*} \braket{Q_{N}^{2}} &= \frac{1}{2^{2M}} \cdot \frac{1}{4} \left[ \sum_{u = 0}^{M – 1} + \sum_{d = 0}^{M – 1} \right] \frac{(2M)!}{u!d!}(u – d)^{2}(|u – d| + 1)^{2} \\ &= \frac{1}{2^{2M}} \cdot \frac{1}{2} \sum_{u = 0}^{M – 1} \frac{(2M)!}{u!(2M – u)!}(2M – 2u)^{2}(2M – 2u + 1)^{2} \\ &= \frac{1}{2}M(6M – 1) + \frac{4M^{2}}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \ , \end{align*}

と計算できる．

第一項は共に$N(3N – 1) / 4$と書けるが，第二項は簡単にまとめて書くことはできそうにない．

$\braket{P_{N}Q_{N}}$の計算

為替差益$P_{N}$と含み益$Q_{N}$の積$P_{N}Q_{N}$の期待値$\braket{P_{N}Q_{N}}$は，

\begin{align*} \braket{P_{N}Q_{N}} &= \sum_{u = 0}^{N} p(N; u) \cdot \text{min}(u, d) \left[ -\frac{1}{2}|r|(|r| + 1) \right] \\ &= -\frac{1}{2^{N}} \cdot \frac{1}{2} \sum_{0}^{N} \frac{N!}{u!d!} \cdot \text{min}(u, d) \cdot |u – d|(|u – d| + 1) \ , \end{align*}

と表される．

$N = 2M – 1$のとき，

\begin{align*} \braket{P_{N}Q_{N}} &= -\frac{1}{2^{2M – 1}} \cdot \frac{1}{2} \left[ \sum_{u = 0}^{M – 1} u + \sum_{d = 0}^{M – 1} d \right] \frac{N!}{u!d!} |u – d|(|u – d| + 1) \\ &= -\frac{1}{2^{2M – 1}} \sum_{u = 0}^{M – 1} \frac{(2M – 1)!}{u!(2M – 1 – u)!} u(2M – 1 – 2u)(2M – 2u) \\ &= -\frac{1}{2}(2M – 1)(M – 1) + \frac{M(M – 1)}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \ . \end{align*}

$N = 2M$のとき，

\begin{align*} \braket{P_{N}Q_{N}} &= -\frac{1}{2^{2M}} \cdot \frac{1}{2} \left[ \sum_{u = 0}^{M – 1} u + \sum_{d = 0}^{M – 1} d \right] \frac{N!}{u!d!} |u – d|(|u – d| + 1) \\ &= -\frac{1}{2^{2M}} \sum_{u = 0}^{M – 1} \frac{(2M)!}{u!(2M – u)!}u(2M – 2u)(2M – 2u + 1) \\ &= -\frac{1}{2}M(2M – 1) + \frac{M^{2}}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \ . \end{align*}

第一項は共に$-N(N – 1) / 4$と書くことができる．

このような計算を手で実行するのは精神衛生上よくない．素直に数式処理ソフトを用いることを勧める．計算結果が正しいことは，$N$（$M$）が小さいところを具体的に計算してみて確かめればよい．

為替差益の分散$\sigma^{2}_{P}$と含み益の分散$\sigma_{Q}^{2}$

二乗平均$\braket{P_{N}^{2}}$と$\braket{Q_{N}^{2}}$を求めたので，為替差益の分散$\sigma^{2}_{P}$と含み益の分散$\sigma_{Q}^{2}$を計算できる．

$\sigma_{P}^{2}$の計算

$N = 2M – 1$のとき，

\[ \sigma_{P}^{2} = \braket{P_{N}^{2}} – \braket{P_{N}}^{2} = \frac{1}{4}(2M – 1) – \frac{M^{2}}{2^{4M}}\frac{\{ (2M)! \}^{2}}{(M!)^{4}} \ . \]

$N = 2M$のとき，

\[ \sigma_{P}^{2} = \braket{P_{N}^{2}} – \braket{P_{N}}^{2} = \frac{1}{2}M – \frac{M^{2}}{2^{4M}}\frac{\{ (2M)! \}^{2}}{(M!)^{4}} \ . \]

一般の$N$について$M \equiv [(N + 1) / 2]$を定義すれば，

\[ \sigma_{P}^{2} = \frac{N}{4} – \frac{M^{2}}{2^{4M}}\frac{\{ (2M)! \}^{2}}{(M!)^{4}} \ . \]

とまとめることができる．

$\sigma_{Q}^{2}$の計算

$N = 2M – 1$のとき，

\[ \sigma_{Q}^{2} = \braket{Q_{N}^{2}} – \braket{Q_{N}}^{2} = \frac{1}{4}(2M – 1)(4M – 3) + \frac{2M(M – 1)}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} – \frac{M^{2}}{2^{4M}}\frac{\{ (2M)! \}^{2}}{(M!)^{4}} \ . \]

$N = 2M$のとき，

\[ \sigma_{Q}^{2} = \braket{Q_{N}^{2}} – \braket{Q_{N}}^{2} = \frac{1}{2}M(4M – 1) + \frac{2M^{2}}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} – \frac{M^{2}}{2^{4M}}\frac{\{ (2M)! \}^{2}}{(M!)^{4}} \ . \]

第一項は共に$N(N – 1 / 2)/2$となり，第三項は$M \equiv [(N + 1) / 2]$を定義すればまとめることができるが，第二項は簡単な表式にまとまらない．

合計収益の分散$\sigma_{P + Q}^{2}$

もっとも興味がある分散は，合計収益の分散$\sigma_{P + Q}^{2}$である．これを求めるために，まずは$(P_{N} + Q_{N})^{2}$の期待値$\braket{(P_{N} + Q_{N})^{2}}$を計算する必要がある．

$(P_{N} + Q_{N})^{2}$の期待値$\braket{(P_{N} + Q_{N})^{2}}$

$(P_{N} + Q_{N})^{2}$の期待値$\braket{(P_{N} + Q_{N})^{2}}$は，

\[ \braket{(P_{N} + Q_{N})^{2}} = \braket{P_{N}^{2}} + 2\braket{P_{N}Q_{N}} + \braket{Q_{N}^{2}} \ , \]

と計算できる．

$N = 2M – 1$のとき，

\[ \braket{(P_{N} + Q_{N})^{2}} = M(2M – 1) + \frac{4M(M – 1)}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \ . \]

$N = 2M$のとき，

\[ \braket{(P_{N} + Q_{N})^{2}} = M(2M + 1) + \frac{4M^{2}}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} \ . \]

合計収益の分散$\sigma_{P + Q}^{2}$

合計収益の分散$\sigma_{P + Q}^{2}$は，以下のように計算できる．

\[ \sigma_{P + Q}^{2} = \braket{(P_{N} + Q_{N})^{2}} – \braket{P_{N} + Q_{N}}^{2} \ . \]

途中計算を書いても仕方ないので，計算結果のみを書いておく．

$N = 2M – 1$のとき，

\begin{align*} \sigma_{P + Q}^{2} &= M(2M – 1) + \frac{4M(M – 1)}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} – \frac{4M^{2}}{2^{4M}}\frac{\{ (2M)! \}^{2}}{(M!)^{4}} \\ &= \frac{1}{2}N(N + 1) + \frac{4M(M – 1)}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} – \frac{4M^{2}}{2^{4M}}\frac{\{ (2M)! \}^{2}}{(M!)^{4}} \ . \end{align*}

$N = 2M$のとき，

\begin{align*} \sigma_{P + Q}^{2} &= M(2M + 1) + \frac{4M^{2}}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} – \frac{4M^{2}}{2^{4M}}\frac{\{ (2M)! \}^{2}}{(M!)^{4}} \\ &= \frac{1}{2}N(N + 1) + \frac{4M^{2}}{2^{2M}}\frac{(2M)!}{(M!)^{2}} – \frac{4M^{2}}{2^{4M}}\frac{\{ (2M)! \}^{2}}{(M!)^{4}} \ . \end{align*}

$\sigma_{P + Q}^{2}$の漸近的な振舞い

最後に，$N$が十分に大きいときの$\sigma_{P + Q}^{2}$の漸近的な振舞いを評価しておこう．各項にStirlingの近似を用いれば，

\[ \sigma_{P + Q}^{2} \sim \frac{N^{2}}{2} + \frac{4}{\sqrt{\pi}}M^{3 / 2} – \frac{4M}{\pi} \simeq \frac{N^{2}}{2} + \frac{N^{3 / 2}}{2\sqrt{\pi}} – \frac{2N}{\pi} \ , \]

と評価できる．

$N^{2}$に比例する項が主要項で，標準偏差は$\sigma_{P + Q} \propto N$のように振舞う．